Gyakorló feladatok STAT-03
Események, eseménytér és valószínűség - Feladatok
1. feladat
Egy főiskola 85 férfi és 75 női tanárt foglalkoztat teljes munkaidőben. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy teljes munkaidőben dolgozó tanárt és feljegyezzük a nemét.
a. Sorolja fel a fenti kísérlet elemi eseményeit!
b. Rendeljen valószínűség-értékeket az elemi eseményekhez!
2. feladat
Egy kórház jelentése szerint két olyan beteget is felvettek, akik Crohn-betegséggel voltak fertőzöttek. Tegyük fel, hogy egy kísérletet végzünk, aminek során megfigyeljük, hogy a betegség következtében az egyes betegek meghalnak, vagy sem. Az elemi események és bekövetkezésük valószínűségei az alábbi táblázatban láthatóak (ahol az S első betűként azt jelenti, hogy az 1-es beteg túlélte a betegséget, a D első betűként azt jelenti, hogy az 1-es beteg meghalt, és így tovább...).
Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egyik beteg sem éli túl a betegséget!
3. feladat
Egy csomag öntapadó jegyzetlap 6 sárga, 6 kék, 6 zöld és 6 rózsaszín jegyzetlapot tartalmaz. A kísérlet szerint véletlenszerűen kiválasztunk egy jegyzetlapot, és feljegyezzük a színét. Határozza meg a kísérlet eseményterét!
4. feladat
Két szabályszerű kockával dobunk. A és B eseményeket a következőképpen határozhatjuk meg:
A: {a két kocka számainak összege 6}
B: {legalább az egyik kocka száma 3}
a. Határozza meg az A U B esemény elemi eseményeit!
b. Határozza meg az A ∩ B esemény elemi eseményeit!
c. Határozza meg P(A U B)!
d. Határozza meg P(A ∩ B)!
5. feladat
Két szabályszerű kockával dobunk. A és B eseményeket a következőképpen határozhatjuk meg:
A: {a két kocka számai különböznek egymástól}
B: {legalább az egyik kocka száma nagyobb, mint 2}
a. Határozza meg az Ac esemény elemi eseményeit!
b. Határozza meg az Bc esemény elemi eseményeit!
c. Határozza meg az Ac U Bc esemény elemi eseményeit!
d. Határozza meg az Ac ∩ Bc esemény elemi eseményeit!
e. Határozza meg P(Ac U Bc)!
f. Határozza meg P(Ac ∩ Bc)!
6. feladat
Két szabályszerű kockával dobunk. A és B eseményeket a következőképpen határozhatjuk meg:
A: {a két kocka számai különböznek egymástól}
B: {legalább az egyik kocka száma nagyobb, mint 2}
Vajon A és B események kölcsönösen kizárják egymást? Válaszát indokolja!
7. feladat
Egy csomag kiemelő filc 12 sárga, 6 kék, 4 zöld és 3 narancssárga kiemelőt tartalmaz. A kísérlet szerint véletlenszerűen kiválasztunk egy kiemelő filcet. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott filc kék lesz!
8. feladat
Egy kísérlet során véletlenszerűen választunk egy számot 1 és 10 között. A esemény szerint a választott szám kevesebb mint 7, vagy egyenlő 7-tel. Sorolja fel A elemi eseményeit!
9. feladat
Egy kis magánegyetemnek 800 hallgatója van, akik közül 240-en részesülnek valamilyen fajta kormányzati forrású pénzügyi támogatásban. Határozza meg a valószínűségét annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott diák részesül valamilyen kormányzati forrású pénzügyi támogatásban!
10. feladat
Számítsa ki, hány módon lehetséges n elemnek N elemből történő kiválasztása, ha n = 6 és N = 15!
11. feladat
Számítsa ki!
12. feladat
Egy áruház felmérése alapján a 750 online vásárló közül 420 volt férfi. Ezen információt felhasználva határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott online vásárló férfi lesz!
13. feladat
Egy áruház felmérése alapján a 750 online vásárló közül 420 volt férfi. Ezen információt felhasználva határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott online vásárló férfi lesz!
14. feladat
Egy választási felmérés (exit poll) során a választók 45 százaléka nyilatkozott úgy, hogy a jelöltek melletti voksukra a gazdaságról vallott nézetek voltak a legnagyobb hatással. 35 százalékuk döntését a nemzetbiztonság kérdései befolyásolták leginkább. A fennmaradó 20 százalék pedig nem volt biztos abban, mi mentén hozta meg döntését. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztjuk a felmérésben szereplő egyik szavazót, és a döntéshozatalát leginkább befolyásoló területről kérdezzük!
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Rendeljen ésszerű valószínűség-értékeket az egyes elemi eseményekhez!
c. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy az illető döntéshozatalára legnagyobb hatással vagy a gazdaság, vagy a nemzetbiztonság voltak!
15. feladat
Hányféleképpen választhat egy menedzser a 8 alkalmazottja közül 3-at a leltárkészítéssel kapcsolatos túlórázásra?
16. feladat
Az alább látható Venn-diagram egy meghatározott kísérlet eseményterét, illetve A és B eseményeket mutatja. Tegyük fel, hogy az elemi események egyenlő valószínűséggel bírnak. Határozza meg a következőket: P(A) és P(B)!
17. feladat
Az alább látható Venn-diagram egy meghatározott kísérlet eseményterét, illetve A és B eseményeket mutatja. Tegyük fel, hogy P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 
és P(5) = P(6) = P(7) = P(8) = P(9) = P(10) = 
. Határozza meg a következőket: P(A) és P(B)!
18. feladat
Az alábbiakban az Egyesült Államok sportolóinak a téli olimpián nyert érmei láthatóak. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy érmet és feljegyezzük a típusát.
arany arany ezüst arany bronz ezüst ezüst
bronz arany ezüst ezüst bronz ezüst arany
arany ezüst ezüst bronz bronz arany ezüst
arany arany bronz bronz
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Határozza meg az egyes elemi események valószínűségét!
c. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az érem nem bronzérem volt?
19. feladat
Az alábbi adatok a téli olimpián az egyes országok által nyert érmeket (arany, ezüst vagy bronz), mutatják. Véletlenszerűen választunk egy országot és feljegyezzük az általa nyert érmék számát.
1 2 3 3 4 9 9 11 11
11 14 14 19 22 23 24 25 29
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Határozza meg az egyes elemi események valószínűségét!
c. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az ország összesen legalább 20 érmet nyert?
20. feladat
Az alábbiakban 50 hallgató statisztika vizsgán elért pontszáma látható. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egyet az 50 hallgató közül, és feljegyezzük az eredményét.
39 51 59 63 66 68 68 69 70 71
71 71 73 74 76 76 76 77 78 79
79 79 79 80 80 82 83 83 83 85
85 86 86 88 88 88 88 89 89 89
90 90 91 91 92 95 96 97 97 98
a. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hallgató által elért pontszám 88?
b. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hallgató által elért pontszám kevesebb, mint 60?
c. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hallgató által elért pontszám 70 és 79 között van, a 70-et és a 79-et is beleértve?
21. feladat
Egy romkocsma tulajdonosának becslése szerint minden 10 vendégből 7 tesz valamennyi pénzt a gyermekkórház fenntartásának gyűjtésére kihelyezett perselybe. A tulajdonos becslését alkalmazva mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott vendég bármennyit is adományoz a kórház javára?
22. feladat
A reklám részleg vezetője felkérte a kreatív csapatát, hogy álljanak elő hat új ötlettel egy fontos ügyfél számára készítendő reklámkampányt illetően. A vezető hármat fog választani a hat ötletből, amelyeket aztán előad az ügyfélnek. (A hat ötletet úgy jelöljük, mint A, B, C, D, E és F.)
a. Hányféleképpen választhat ki a vezető hármat a hat ötlet közül? Sorolja fel a lehetőségeket!
b. Bár valószínűtlen, hogy a vezető véletlenszerűen választ a hat ötlet közül, ha mégis megtenné, mennyi a valószínűsége, hogy az A, D és E ötletet választja?
23. feladat
Az alábbi táblázat a júniusban az Egyesült Államok egész területén eladott autók számát mutatja. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztjuk ezen autók egyikének értékesítési bizonylatát és feljegyezzük az autó típusát.
| Autótípus | Szám |
| Szedán | 7,204 |
| Lehajtható tetejű | 9,089 |
| Kombi | 20,418 |
| Terepjáró | 13,691 |
| Furgon | 15,837 |
| Puttonyos | 15,350 |
| Összes | 81,589 |
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Határozza meg az egyes elemi események valószínűségét!
c. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az autó egy furgon vagy egy terepjáró?
24. feladat
Az alábbi táblázat a júniusban az Egyesült Államok egész területén eladott Ford márkájú autók számát mutatja. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztjuk ezen autók egyikének értékesítési bizonylatát és feljegyezzük az autó típusát.
| Autótípus | Szám |
| Szedán | 7,204 |
| Lehajtható tetejű | 9,089 |
| Kombi | 20,418 |
| Terepjáró | 13,691 |
| Furgon | 15,837 |
| Puttonyos | 15,350 |
| Összes | 81,589 |
A és B eseményeket a következőképpen határozzuk meg.
A: {Lehajtható tetejű, Terepjáró, Furgon}
B: {Kevesebb, mint 10000 típust adtak el júniusban}
a. Határozza meg A U B esemény elemi eseményeit!
b. Határozza meg A ∩ B esemény elemi eseményeit!
c. Határozza meg: P(A U B)!
d. Határozza meg: P(A ∩ B)!
25. feladat
Az alábbi táblázat a júniusban az Egyesült Államok egész területén eladott Ford márkájú autók számát mutatja. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen kiválasztjuk ezen autók egyikének értékesítési bizonylatát és feljegyezzük az autó típusát.
| Autótípus | Szám |
| Szedán | 7,204 |
| Lehajtható tetejű | 9,089 |
| Kombi | 20,418 |
| Terepjáró | 13,691 |
| Furgon | 15,837 |
| Puttonyos | 15,350 |
| Összes | 81,589 |
A eseményt a következőképpen határozzuk meg.
A: {Lehajtható tetejű, Terepjáró, Furgon}
a. Határozza meg Ac esemény elemi eseményeit!
b. Határozza meg: P(Ac)!
26. feladat
Az alábbi táblázat egy online aukciós oldalon található könyvek műfaj szerinti számát mutatja. Tegyük fel, hogy Juanita véletlenszerűen választ egy könyvet és ajánlatot tesz rá, majd ezt követően feljegyzi a műfaját.
| Könyv-műfajok | Szám |
| Gyerekkönyv | 51,033 |
| Regény | 141,114 |
| Próza | 253,074 |
| Tankönyv | 67,252 |
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Határozza meg az egyes elemi események valószínűségét!
c. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a könyv egy próza vagy egy tankönyv?
27. feladat
Három vállalatot (A, B és C) elsőként, másodikként és harmadikként rangsorolnak a fogyasztói elégedettséget mérő listán.
a. Sorolja fel a három vállalat összes rangsorolási lehetőségét!
b. Feltéve, hogy az összes rangsorolási lehetőség ugyanannyira valószínű, mennyi a valószínűsége annak, hogy A vállalat lesz az első, B vállalat a második és C vállalat a harmadik a listán?
c. Feltéve, hogy az összes rangsorolási lehetőség ugyanannyira valószínű, mennyi a valószínűsége annak, hogy B vállalat lesz az első a listán?
28. feladat
Három szabályszerű érmét dobunk fel és mindegyiknél megfigyeljük, hogy az eredmény vajon fej (H) vagy írás (T).
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Rendeljen valószínűség-értékeket az egyes elemi eseményekhez!
c. Határozza meg A = {Három fej eredmény figyelhető meg} esemény valószínűségét!
d. Határozza meg B = {Pontosan két fej eredmény figyelhető meg} esemény valószínűségét!
e. Határozza meg C = {Legalább két fej eredmény figyelhető meg} esemény valószínűségét!
29. feladat
Egy két kék és két piros chipset tartalmazó zacskóból két chipset veszünk ki véletlenszerűen és anélkül, hogy visszatennénk őket. A és B események a következőképpen határozhatók meg.
A: {Mindkét chips piros}
B: {Legalább az egyik chips kék}
a. Határozza meg A U B esemény elemi eseményeit!
b. Határozza meg: P(A U B)!
30. feladat
Egy három kék és egy piros chipset tartalmazó zacskóból két chipset veszünk ki véletlenszerűen és anélkül, hogy visszatennénk őket.
a. Sorolja fel a kísérlet elemi eseményeit!
b. Rendeljen valószínűség-értékeket az egyes elemi eseményekhez!
c. Határozza meg A = {Két kék chipset veszünk ki} esemény valószínűségét!
d. Határozza meg B = {Egy kék és egy piros chipset veszünk ki} esemény valószínűségét!
e. Határozza meg C = {Két kék chipset veszünk ki} esemény valószínűségét!